Legendre Symbol

python

# 笨办法
def find_square_root(n, mod):
    for i in range(1, mod-1):
        if pow(i, 2, mod) == n:
            return i

当mod变得无比大的时候，这个方法所消耗的时间将无限增大

def determine_square_root_exist(a, p):
    return 1 if pow(a, (p-1)//2, p) == 1 else 0


def legendre_symbol(a, p):
    """计算Legendre符号 (a/p)"""
    return pow(a, (p - 1) // 2, p)


def tonelli_shanks(n, p):
    """使用Tonelli-Shanks算法在有限域GF(p)中求平方根"""
    # 检查n是否是模p的二次剩余
    if legendre_symbol(n, p) != 1:
        return None  # 不是二次剩余

    # 特殊情况：p = 2
    if p == 2:
        return n % 2

    # 特殊情况：n = 0
    if n == 0:
        return 0

    # 将 p-1 分解为 Q * 2^S
    Q = p - 1
    S = 0
    while Q % 2 == 0:
        Q //= 2
        S += 1

    # 寻找一个二次非剩余z
    z = 2
    while legendre_symbol(z, p) != p - 1:
        z += 1

    # 初始化变量
    M = S
    c = pow(z, Q, p)
    t = pow(n, Q, p)
    R = pow(n, (Q + 1) // 2, p)

    while t != 1:
        # 找到最小的i使得 t^(2^i) = 1
        i = 0
        temp = t
        while temp != 1:
            temp = (temp * temp) % p
            i += 1

        # 更新变量
        b = pow(c, 1 << (M - i - 1), p)  # b = c^(2^(M-i-1))
        M = i
        c = (b * b) % p
        t = (t * c) % p
        R = (R * b) % p

    return R


def find_all_square_roots(n, p):
    """找到模p下n的所有平方根"""
    if n >= p:
        n %= p

    # 检查是否是二次剩余
    if legendre_symbol(n, p) != 1:
        return []  # 没有平方根

    # 使用Tonelli-Shanks算法求一个根
    root1 = tonelli_shanks(n, p)
    if root1 is None:
        return []

    root2 = p - root1  # 另一个根

    return sorted([root1, root2])


p = 101524035174539890485408575671085261788758965189060164484385690801466167356667036677932998889725476582421738788500738738503134356158197247473850273565349249573867251280253564698939768700489401960767007716413932851838937641880157263936985954881657889497583485535527613578457628399173971810541670838543309159139

ints = [25081841204695904475894082974192007718642931811040324543182130088804239047149283334700530600468528298920930150221871666297194395061462592781551275161695411167049544771049769000895119729307495913024360169904315078028798025169985966732789207320203861858234048872508633514498384390497048416012928086480326832803, 45471765180330439060504647480621449634904192839383897212809808339619841633826534856109999027962620381874878086991125854247108359699799913776917227058286090426484548349388138935504299609200377899052716663351188664096302672712078508601311725863678223874157861163196340391008634419348573975841578359355931590555, 17364140182001694956465593533200623738590196990236340894554145562517924989208719245429557645254953527658049246737589538280332010533027062477684237933221198639948938784244510469138826808187365678322547992099715229218615475923754896960363138890331502811292427146595752813297603265829581292183917027983351121325, 14388109104985808487337749876058284426747816961971581447380608277949200244660381570568531129775053684256071819837294436069133592772543582735985855506250660938574234958754211349215293281645205354069970790155237033436065434572020652955666855773232074749487007626050323967496732359278657193580493324467258802863, 4379499308310772821004090447650785095356643590411706358119239166662089428685562719233435615196994728767593223519226235062647670077854687031681041462632566890129595506430188602238753450337691441293042716909901692570971955078924699306873191983953501093343423248482960643055943413031768521782634679536276233318, 85256449776780591202928235662805033201684571648990042997557084658000067050672130152734911919581661523957075992761662315262685030115255938352540032297113615687815976039390537716707854569980516690246592112936796917504034711418465442893323439490171095447109457355598873230115172636184525449905022174536414781771, 50576597458517451578431293746926099486388286246142012476814190030935689430726042810458344828563913001012415702876199708216875020997112089693759638454900092580746638631062117961876611545851157613835724635005253792316142379239047654392970415343694657580353333217547079551304961116837545648785312490665576832987, 96868738830341112368094632337476840272563704408573054404213766500407517251810212494515862176356916912627172280446141202661640191237336568731069327906100896178776245311689857997012187599140875912026589672629935267844696976980890380730867520071059572350667913710344648377601017758188404474812654737363275994871, 4881261656846638800623549662943393234361061827128610120046315649707078244180313661063004390750821317096754282796876479695558644108492317407662131441224257537276274962372021273583478509416358764706098471849536036184924640593888902859441388472856822541452041181244337124767666161645827145408781917658423571721, 18237936726367556664171427575475596460727369368246286138804284742124256700367133250078608537129877968287885457417957868580553371999414227484737603688992620953200143688061024092623556471053006464123205133894607923801371986027458274343737860395496260538663183193877539815179246700525865152165600985105257601565]

for i in ints:
    if determine_square_root_exist(i, p):
        print(find_all_square_roots(i, p))

详情看CryptoHack – Modular Arithmetic - Legendre Symbol